RMQ问题(线段树算法,ST算法优化)

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指:

对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在[i,j]里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题



主要方法及复杂度(处理复杂度和查询复杂度)如下:

1.朴素(即搜索) O(n)-O(n)

2.线段树(segment tree) O(n)-O(qlogn)

3.ST(实质是动态规划) O(nlogn)-O(1)



线段树方法:

线段树能在对数时间内在数组区间上进行更新与查询。

定义线段树在区间[i, j] 上如下:

第一个节点维护着区间 [i, j] 的信息。

if i<j , 那么左孩子维护着区间[i, (i+j)/2] 的信息,右孩子维护着区间[(i+j)/2+1, j] 的信息。

可知 N  个元素的线段树的高度 为 [logN] + 1(只有根节点的树高度为0) .

下面是区间 [0, 9]  的一个线段树:







线段树和堆有一样的结构, 因此如果一个节点编号为 x ,那么左孩子编号为2*x  右孩子编号为2*x+1.



使用线段树解决RMQ问题,关键维护一个数组M[num],num=2^(线段树高度+1).

M[i]:维护着被分配给该节点(编号:i 线段树根节点编号:1)的区间的最小值元素的下标。 该数组初始状态为-1.
1 #include<iostream> 2 3 using namespace std; 4 5 #define MAXN 100 6 #define MAXIND 256 //线段树节点个数 7 8 //构建线段树,目的:得到M数组. 9 void initialize(int node, int b, int e, int M[], int A[]) 10 { 11 if (b == e) 12 M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标 13 else 14 { 15 //递归实现左孩子和右孩子 16 initialize(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A); 17 initialize(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A); 18 //search for the minimum value in the first and 19 //second half of the interval 20 if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]]) 21 M[node] = M[2 * node]; 22 else 23 M[node] = M[2 * node + 1]; 24 } 25 } 26 27 //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引 28 int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j) 29 { 30 int p1, p2; 31 32 33 //查询区间和要求的区间没有交集 34 if (i > e || j < b) 35 return -1; 36 37 //if the current interval is included in 38 //the query interval return M[node] 39 if (b >= i && e <= j) 40 return M[node]; 41 42 //compute the minimum position in the 43 //left and right part of the interval 44 p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j); 45 p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j); 46 47 //return the position where the overall 48 //minimum is 49 if (p1 == -1) 50 return M[node] = p2; 51 if (p2 == -1) 52 return M[node] = p1; 53 if (A[p1] <= A[p2]) 54 return M[node] = p1; 55 return M[node] = p2; 56 57 } 58 59 60 int main() 61 { 62 int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,保存下标编号节点对应区间最小值的下标. 63 memset(M,-1,sizeof(M)); 64 int a[]={3,1,5,7,2,9,0,3,4,5}; 65 initialize(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a); 66 cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl; 67 return 0; 68 }
ST算法(Sparse Table):它是一种动态规划的方法。

以最小值为例。a为所寻找的数组.

用一个二维数组f(i,j)记录区间[i,i+2^j-1](持续2^j个)区间中的最小值。其中f[i,0] = a[i];

所以,对于任意的一组(i,j),f(i,j) = min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)}来使用动态规划计算出来。

这个算法的高明之处不是在于这个动态规划的建立,而是它的查询:它的查询效率是O(1).

假设我们要求区间[m,n]中a的最小值,找到一个数k使得2^k<n-m+1.

这样,可以把这个区间分成两个部分:[m,m+2^k-1]和[n-2^k+1,n].我们发现,这两个区间是已经初始化好的.

前面的区间是f(m,k),后面的区间是f(n-2^k+1,k).

这样,只要看这两个区间的最小值,就可以知道整个区间的最小值!
1 #include<iostream> 2 #include<cmath> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 6 #define M 100010 7 #define MAXN 500 8 #define MAXM 500 9 int dp[M][18]; 10 /* 11 *一维RMQ ST算法 12 *构造RMQ数组 makermq(int n,int b[]) O(nlog(n))的算法复杂度 13 *dp[i][j] 表示从i到i+2^j -1中最小的一个值(从i开始持续2^j个数) 14 *dp[i][j]=min{dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1]} 15 *查询RMQ rmq(int s,int v) 16 *将s-v 分成两个2^k的区间 17 *即 k=(int)log2(s-v+1) 18 *查询结果应该为 min(dp[s][k],dp[v-2^k+1][k]) 19 */ 20 21 void makermq(int n,int b[]) 22 { 23 int i,j; 24 for(i=0;i<n;i++) 25 dp[i][0]=b[i]; 26 for(j=1;(1<<j)<=n;j++) 27 for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++) 28 dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]); 29 } 30 int rmq(int s,int v) 31 { 32 int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0)); 33 return min(dp[s][k],dp[v-(1<<k)+1][k]); 34 } 35 36 void makeRmqIndex(int n,int b[]) //返回最小值对应的下标 37 { 38 int i,j; 39 for(i=0;i<n;i++) 40 dp[i][0]=i; 41 for(j=1;(1<<j)<=n;j++) 42 for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++) 43 dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1]; 44 } 45 int rmqIndex(int s,int v,int b[]) 46 { 47 int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0)); 48 return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k]; 49 } 50 51 int main() 52 { 53 int a[]={3,4,5,7,8,9,0,3,4,5}; 54 //返回下标 55 makeRmqIndex(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a); 56 cout<<rmqIndex(0,9,a)<<endl; 57 cout<<rmqIndex(4,9,a)<<endl; 58 //返回最小值 59 makermq(sizeof(a)/sizeof(a[0]),a); 60 cout<<rmq(0,9)<<endl; 61 cout<<rmq(4,9)<<endl; 62 return 0; 63 }
 
posted @ 2017-03-24 20:48 Angel_Kitty 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏