LCA 最近公共祖先

LCA 最近公共祖先

Tarjan(离线)算法的基本思路及其算法实现

    首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先?):     在一棵没有环的树上,每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点,而最近公共祖先,就是两个节点在这棵树上深度最大公共祖先节点     换句话说,就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点     所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。     有人可能会问:那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢?     答案是肯定的,很简单,按照人的亲戚观念来说,你的父亲也是你的祖先,而LCA还可以将自己视为祖先节点     举个例子吧,如下图所示最近公共祖先是2最近公共祖先最近公共祖先。      这就是最近公共祖先的基本概念了,那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢?     通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法:对于每个询问,遍历所有的点,时间复杂度为O(n*q),很明显,n和q一般不会很小     常用的求LCA的算法有:Tarjan/DFS+ST/倍增     后两个算法都是在线算法,也很相似,时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间,我个人认为较难理解。     有的题目是可以用线段树来做的,但是其代码量很大,时间复杂度也偏高,在O(n)~O(nlogn)之间,优点在于也是简单粗暴     这篇博客主要是要介绍一下Tarjan算法(其实是我不会在线...)。     什么是Tarjan(离线)算法呢?顾名思义,就是在一次遍历中把所有询问一次性解决,所以其时间复杂度是O(n+q)     Tarjan算法的优点在于相对稳定,时间复杂度也比较居中,也很容易理解。     下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路:       1.任选一个点为根节点,从根节点开始。       2.遍历该点u所有子节点v,并标记这些子节点v已被访问过。       3.若是v还有子节点,返回2,否则下一步。       4.合并v到u上。       5.寻找与当前点u有询问关系的点v。       6.若是v已经被访问过了,则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。     遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...),至于合并,最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。     下面上伪代码:
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   1 Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数   2 {   3 for each(u,v) //访问所有u子节点v   4 {    5 Tarjan(v); //继续往下遍历    6 marge(u,v); //合并v到u上    7 标记v被访问过;    8 }    9 for each(u,e) //访问所有和u有询问关系的e   10 {   11 如果e被访问过;   12 u,e的最近公共祖先为find(e);   13 }   14 }
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    个人感觉这样还是有很多人不太理解,所以我打算模拟一遍给大家看。     建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟!!     假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下:     1--2,1--3,2--4,2--5,3--6,5--7,5--8,7--9 即下图所示的树     设我们要查找最近公共祖先的点为9--8,4--6,7--5,5--3;     设f[]数组为并查集的父亲节点数组,初始化f[i]=i,vis[]数组为是否访问过的数组,初始为0;      下面开始模拟过程:     取1为根节点往下搜索发现有两个儿子2和3;     先搜2,发现2有两个儿子4和5,先搜索4,发现4没有子节点,则寻找与其有关系的点;     发现6与4有关系,但是vis[6]=0,即6还没被搜过,所以不操作     发现没有和4有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[4]=1          表示4已经被搜完,更新f[4]=2,继续搜5,发现5有两个儿子7和8;     先搜7,发现7有一个子节点9,搜索9,发现没有子节点,寻找与其有关系的点;     发现8和9有关系,但是vis[8]=0,即8没被搜到过,所以不操作;     发现没有和9有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[9]=1     表示9已经被搜完,更新f[9]=7,发现7没有没被搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;     发现5和7有关系,但是vis[5]=0,所以不操作     发现没有和7有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[7]=1          表示7已经被搜完,更新f[7]=5,继续搜8发现8没有子节点,则寻找与其有关系的点;     发现9与8有关系,此时vis[9]=1,则他们的最近公共祖先find(9)=5       (find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)     发现没有与8有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[8]=1       表示8已经被搜完,更新f[8]=5,发现5没有没搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;          发现7和5有关系,此时vis[7]=1,所以他们的最近公共祖先find(7)=5       (find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)     又发现5和3有关系,但是vis[3]=0,所以不操作,此时5的子节点全部搜完了;     返回此前一次搜索,更新vis[5]=1,表示5已经被搜完,更新f[5]=2     发现2没有未被搜完的子节点,寻找与其有关系的点;     又发现没有和2有关系的点,则此前一次搜索,更新vis[2]=1          表示2已经被搜完,更新f[2]=1,继续搜3,发现3有一个子节点6;     搜索6,发现6没有子节点,则寻找与6有关系的点,发现4和6有关系;     此时vis[4]=1,所以它们的最近公共祖先find(4)=1;       (find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)     发现没有与6有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[6]=1,表示6已经被搜完了;          更新f[6]=3,发现3没有没被搜过的子节点了,则寻找与3有关系的点;     发现5和3有关系,此时vis[5]=1,则它们的最近公共祖先find(5)=1       (find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)     发现没有和3有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[3]=1          更新f[3]=1,发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点,此时可以退出整个dfs了。     经过这次dfs我们得出了所有的答案,有没有觉得很神奇呢?是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢?                        日后将会给出一些题目对LCA算法进行深度分析,敬请期待!             转载请注明:http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/
posted @ 2017-03-24 20:56 Angel_Kitty 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏
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