统计0到n之间1的个数[数学,动态规划dp](经典,详解)

问题描述

给定一个十进制整数N,求出从1到N的所有整数中出现”1”的个数。  例如:N=2时 1,2出现了1个 “1” 。 N=12时 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出现了5个“1”。 方法一 暴力求解 最直接的方法就是从1开始遍历到N,将其中每一个数中含有“1”的个数加起来,就得到了问题的解。 下面给出代码:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 int main() 5 { 6 int n,x,t; 7 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 8 { 9 int ans=0; 10 for(int i=1;i<=n;i++) 11 { 12 t=i; 13 while(t) 14 { 15 if(t%10==1) 16 ++ans; 17 t=t/10; 18 } 19 } 20 printf("%d\n",ans); 21 } 22 return 0; 23 }
该算法的时间复杂度为O(N*lgN) (注:此方法对较大的数据有可能会TL) 解法二  1位数的情况: 在解法二中已经分析过,大于等于1的时候,有1个,小于1就没有。  2位数的情况: N=13,个位数出现的1的次数为2,分别为1和11,十位数出现1的次数为4,分别为10,11,12,13,所以f(N) = 2+4。 N=23,个位数出现的1的次数为3,分别为1,11,21,十位数出现1的次数为10,分别为10~19,f(N)=3+10。 由此我们发现,个位数出现1的次数不仅和个位数有关,和十位数也有关,如果个位数大于等于1,则个位数出现1的次数为十位数的数字加1;如果个位数为0,个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关,也和个位数相关:如果十位数字等于1,则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1,假如十位数大于1,则十位数上出现1的次数为10。  3位数的情况: N=123 个位出现1的个数为13:1,11,21,…,91,101,111,121 十位出现1的个数为20:10~19,110~119 百位出现1的个数为24:100~123  我们可以继续分析4位数,5位数,推导出下面一般情况:  假设N,我们要计算百位上出现1的次数,将由三部分决定:百位上的数字,百位以上的数字,百位一下的数字。 如果百位上的数字为0,则百位上出现1的次数仅由更高位决定,比如12013,百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199,…,11100~11199,共1200个。等于更高位数字乘以当前位数,即12 * 100。 如果百位上的数字大于1,则百位上出现1的次数仅由更高位决定,比如12213,百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199,…,11100~11199,12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数,即(12 + 1)*100。         如果百位上的数字为1,则百位上出现1的次数不仅受更高位影响,还受低位影响。例如12113,受高位影响出现1的情况:100~199,1100~1199,2100~2199,…,11100~11199,共1200个,但它还受低位影响,出现1的情况是12100~12113,共114个,等于低位数字113+1。 综合以上分析,写出如下代码:
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<map> 4 #include<cstring> 5 #include<string> 6 #include<algorithm> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<stack> 10 #include<cstdlib> 11 #include<cctype> 12 #include<cmath> 13 #define LL long long 14 using namespace std; 15 int CountOne(int n) { 16 int cnt = 0; 17 int i = 1; 18 int current = 0, after = 0, before = 0; 19 while ((n / i) != 0) { 20 current = (n / i) % 10; 21 before = n / (i * 10); 22 after = n - (n / i) * i; 23 if (current > 1) 24 cnt = cnt + (before + 1) * i; 25 else if (current == 0) 26 cnt = cnt + before * i; 27 else if (current == 1) 28 cnt = cnt + before * i + after + 1; 29 i = i * 10; 30 } 31 return cnt; 32 } 33 int main() 34 { 35 int n; 36 while(cin>>n){ 37 int res=CountOne(n); 38 cout<<res<<endl; 39 } 40 return 0; 41 }
 
posted @ 2017-04-02 12:12 Angel_Kitty 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏
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